当然,实际问题要比掷骰子和硬币复杂得多。但是,统计数学描述的那些现象、规律却和掷骰子、扔硬币这种事情所呈现出的规律性质是类似的。由于这种方法受到赌博的启示,所以有人就形象地用赌博城蒙特卡罗来命名这种独具风格的计算方法:MC(Monte Carlo)是上世纪四十年代,Los Alamos实验室(LANL)曼哈顿计划中由 Stanislaw Ulam 和 Von Neumann 两位数学家倡导和创建的一种独具特色的数值模拟方法。为体现方法的内涵,他们用世界著名赌城的名字将其命名为 Monte Carlo 方法。
当然,MC方法也可被称为统计实验方法,从某种意义上说,就是一种经验法。当我们面对急需解决的棘手问题却又一时找不到可靠的解决办法时,就根据经验来应急。此时,过去已经被观察到的经历就能提供判断或者决策的依据。虽然暂时找不到完备的认识体系供我们放心使用,但也比一点依据也没有实用得多。平时我们是被动地去获得这些经历,因而时间方面可能拖得很长。现在我们想在短时间内主动地、集中地将未来可能的经历事先演绎一遍,从而获得足够的经验以供现在使用。如此这般,使我们有理由相信会把现在以及可预见的将来的事情处理得更好一点。这其实是具有普遍意义的一种方法,非常实用,值得我们去认真完善和巧妙使用。
以方******角度看,当没有办法使用可使判断坚定不移的演绎法时,便退而求其次,使用归纳法。虽然我们对归纳而出的判断依据“知其然,还不知其所以然”,但能够及时找到,却对我们很重要。此时,主动地去获得足够多的、可供归纳时使用的素材(经历、经验),就能让我们节约很多时间,及时处理手中的问题,远胜于束手无策去麻烦上帝。
归纳法其实就是假定历史中呈现的“规律”会重演,所以值得我们通过寻找这样的规律去指导现在和将来的事情。我们不得不这样假定,否则经验就失去了指导意义。不幸的是,随机结构的******本性根本就不赞成这样的假定。历史的经验除了能为我们提供否定归纳而出的规律的反例外,其实别无用处。这与我们“把历史经验可以当成肯定的判断依据”的直觉性假定背道而驰。如果一定要这样使用经验的话,头上必定会带着永远也挥之不去的风险,因为那些在历史中不曾出现的、可能是非常稀有的事件一旦出现,就可能会给我们带来灭顶之灾,让一切前功尽弃不说,还可能彻底让我们落入万劫不复的深渊,连从新来过的机会也没有!小到赌博,大到一个国家的基本制度以及人类在地球上的生存,皆是如此。因此,在我们了解了“由总结历史经验而得出的任何判断”的局限性和所冒的风险后,就不会死守着一个暂时成功的方法或者理论,在问题出现新状况时就能及时地扬弃手中的这些工具,转而拿起也许风格完全不同的其他工具。这样一来,便可保持我们永恒的创新精神,消除迷信,规避风险,同时又能解决我们面临的各种棘手的问题。创造和使用MC,也是这样的态度。
实际使用 MC 求解问题时,首先要建立一个概率模型或随机过程,使它的参数等于问题的解,然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征,最后再输出所求解的近似值。
其数学原理是这样的:根据从掷骰子、扔硬币这类事情所呈现出的规律性质概括而出的“概率”的定义知道,某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算,且当样本容量足够大时,可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此,可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样,然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式,确定结构是否失效,最后从中求得结构的失效概率。MC法正是基于此思路实现概率计算分析的。
设有
·统计独立的随机变量 Xi(i=1,2,3,…,k),其对应的
·概率密度函数分别为 fx1,fx2,…,fxk,
·功能函数式为 Z=g(x1,x2,…,xk)。
首先,根据各随机变量的相应分布,产生 N 组随机数x1,x2,…,xk的值,再计算功能函数值Zi=g(x1,x2,…,xk)(i=1,2,…,N)。若其中有 L 组随机数对应的功能函数值 Zi≤0,则当N→∞时,根据Bernoulli大数定理及正态随机变量的特性(概率的值不会小于0)可断定出结构失效概率,从而获得一种可靠的测量或判断指标。