蒙特卡罗方法与科学计算

鸿飞冥冥

科学研究的第三手段

近代科学研究方法一直分为“实验”和“理论”两种手段。然而，自40年前世界上第一合
计算机ENIAC在美国诞生以来，计算技术以技术发展史上罕见的速度持续地大幅度的发展。
电子计算机的应用引进了新的第三种科学研究的手段——科学与工程计算，简称科学计算
。它的应用范围已扩大到所有的科学领域。现在，科学计算已与实验、理论方法三足鼎立
，成为不可以少购置要科研手段。
科学计算，简而言之，就是在电子计算机上用各种数学计算方法对所研究的问题进行数值
模拟，从而找出其规律，获取各种定量的科学信息。第一台计算机就是著名数学家冯·诺
伊曼为解决核武器设计中的大规模科学计算而发明制作的。核爆炸的过程是异常复杂的，
而核试验耗费巨大，只能进行有限次数，要充分掌握其规律，就要依靠在计算机上进行大
量模拟计算，选择、调整参数，方案设计得好，就可减少核试验次数、节省投资、缩短研
制周期。这种方法已在飞行器设计研究、核电站设计、水利建设、船舶设计、气象预报、
石油地质、生物工程、能源研究等各个领城中被广泛采用。这种科学研究手段也带动了很
多新学科发展，其中包括计算机硬件、软件、应用程序软件、图象处理及数值计算方法，
从而产生了计算数学、计算物理、计算力学、计算化学及计算地震学等各种边缘交叉学科
。计算机数值模拟方法就是其中一门十分重要的学科。更具体地说，科学计算就是要解各
种方程，如牛顿运动方程、欧拉方程、纳维斯托克斯方程、麦克斯韦方程、波尔兹曼方程
、薛定谔方程，等等。如何在计算机上求解这些方程，就要建立不同的计算方法，如蒙特
卡罗(Monte Carlo)方法(又称随机模拟法)、有限差分法、有限元法、各种数值积分法等，
下面我们就对蒙特卡罗方法作简要介绍。
名称的由来
计算方法的名称大多是与数学术语相关的，唯有蒙特卡罗方法名称特殊。大家知道，蒙特
卡罗是地中海北岸的一个风景优美的城市，它是一座世界上有名的赌城。饶有兴趣的是科
学家们竞用它命名了一种数学计算方法。那么，赌博与随机模拟(亦称统计试验)有什么关
系呢?其实，赌博本身就可以看作是一种最简单的统计试验。例如掷骰子，一个均匀正方形
的六面体，它在每一面刻有1到6的六个数码，如果要想知道掷骰子时某一面向上机会的多
少，既可以用数学理论来证明，也可以用多次投掷方法来验证。只要投掷的数目足够多，
就一定能证明每一面朝上的机会是1／6。类似扔硬币正反面朝上机会显然各都是1／2。有
人做了30000次投掷试验，统计的结果正面向上的次数是14994次。也就是说，十分接近1／
2了。这二个例子告诉我们，少量的试验结果可随是无规律的．数学上称随机性，而大量的
试验就能检验或发现某些规律，也就是说有必然性，数学上叫统计性。对赌博来说，既有
随机性也有统计性。
当然，实际问题要比掷骰子和硬币复杂得多。但是，统计数学的现象和规律是类似的，由
于这种方法受到赌博的启示，所以人们就形象地用赌博城蒙特卡罗来命名这种计算方法。

独具风格的计算方法
蒙特卡罗方法不仅名称独特，它的计算模拟过程也独具风格，因而它常给人们带上一层神
秘的色彩。但是，分析这种方法的基本特点就会发现，它的规律并不难掌握。用蒙特卡罗
求解问题首先要建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解，然后通过对模
型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征，最后再输出所求解的近似值。解
的精度可以用估计值的标准误差来表示。根据概率论的定理，只要重复抽样随次数N趋向无
穷大时，则其随机变量的算术平均将精确等于它的数学期望，即所求问题的解。当然，N实
际上不可能取无穷大，但只要取到与问题相应的足够大便可十分逼近于所求的真实解。反
之，N小了就得不到正确的结果。这就决定了只有在高速电子计算机上才能有效地应用这种
方法。蒙特卡罗方法既可求解随机性问题，又可以求解确定性问题。所谓随机问题，是指
问题的过程或参量受到随机性的影响，当然最后结果遵从统计规律，  是确定的。例如，
在核反应或核武器爆炸中，中子或伽玛射线在介质中的输运问题是随机性问题。因为粒子
和介质元素发生什么相互作用，碰撞后如何运动都有随机性。我们可以用蒙待卡罗方法直
接模拟这种输运过程，只要足够多的抽样，便可获得精确解。1946年，美国科学家首先在
电子计算机上对中子连锁反应进行了模拟，并且把第一个实验程序命名为蒙特卡罗程序。
因此，蒙特卡罗方法首先在核科学研究中得到应用。其他如运筹学中的库存问题，随机服
务系统中的排队问题等都属随机性问题；另一类是确定性问题，如计算定积分、解偏微分
方程、线性代数方程等，它们可以用差分法、数值积分法等方法求解，但同样也可以用蒙
特卡罗方法求解。在某些情况下，蒙特卡罗方法还更有优越性，如统计物理中常遇到的计
算某物理系统的平均量，象内能、自由能、熵等均是高维积分，用通常数值积分法十分困
难，而用Metroplis提出的特殊蒙特卡罗方法则能精确高效地求解出结果，从而使其在统计
物理、凝聚态物理研究中成为一种标准算法。
蒙特卡罗方法有其独特的优点，第一，与所求解问题的几何维数及问题条件关系不大，几
何越复杂，它相对优点越明显。例如，在粒子输运问题中，用差分法解二维问题比一线问
题几乎要多4倍以上的时间，而采用蒙特卡罗方法则几乎不受影响。第二，适应性强。例如
，积分域形状特殊时，用一般积分法求解困难大，而蒙特卡罗法则不受影响，对问题也不
一定要进行离散化，可连续处理，如粒子能量可以连续跟踪模拟等。第三，程序结构简单
，所需计算机存贮单元比其他数值方法少，容易建立通用性很强的应用软件。应当指出，
蒙特卡罗计算结果的收敛性与抽样数N的平方根成反比，这就决定了要得到高精度解就必须
用高速电子计算机实现大N抽样。但是它的误差只依赖于标准方差σ及 。因此，要节省时
间就既要研究各种模拟方法以减少方差、提高效率，所以降低方差的各种抽样技巧便成为
研究该方法的重要内容。
随机数的真与伪
蒙特卡罗方法模拟问题都离不开随机抽样，于是就需要产生各种概率分布的随机变量，其
中最简单也最重要的随机变量是在［0，1］上均匀分布的随机变量。我们把［0，1］上均
匀分布随机变量的抽样值称之为随机数。因此在电子计算机上如何产生这种“真正”的随
机变量，就变得特别重要。
随机抽样的一种方法是物理方法，它应用某种物理现象的随机性，在计算机上设有专门的
附件实现，称为“随机数发生器”。它所产大的随机数倒是“真”的随机数，但其缺点是
过程一去不复返，不能进行重复检查，而且设备费用昂贵，不实用。另一种是目前广泛使
用的数学方法，它用迭代过程实现，每个相邻数 由其前一个数 ，或前一组的数通过某些
算术或逻辑运算求得。显然，这样的一系列数就不是真正的随机数，但它们只要能通过一
系列局部随机性检验，就可当作随机数来使用。科学家们定义这种数为“伪随机数”，其
优点是在计算机中只要贮存几个初值，其他数就可通过迭代算得，速度快，费用低，可以
重复。这正适合蒙特卡罗模拟计算需要，“伪”的就比“真”的有用。
产生伪随机数的方法又是一门特殊学科，要涉及数论等理论，这里就不愿详述了。选择方
法必须注意使产生的伪随机数序列有随机性好、在计算机上容易实现、省时、周期长等特
点。现在，各种大、中、小型电子计算机的软件系统中一般都有产生伪随机数的专用于程
序，连微机及计算器中也有简单的伪随机数产生子程序，可见用途之广。
日益广泛的应用
随着电子计算机技术的发展，大容量、高速度新型计算机不断问世，蒙特卡罗方法越来越
明显地发挥它的威力。上面已经说到，它首先是在研制核武器及核反应过程中发展起来的
。如今，在各种新式武器的研制中，包括核武器、强激光武器、粒子束武器等都得到了广
泛应用，而且在核电站设计、聚变堆研究中也发展了成套的蒙特卡罗程序软件。另外，在
军事科学技术研究中也求助于蒙待卡罗方法：在实战前，对作战双方的军事实力、******、
经济、地理、气象等因素进行模拟，但这些因素可能随时发生变化，如果在计算机上进行
“战斗”模拟，计算机就可以在很短时间内把一个很长的战斗过程模拟下来，告诉我们可
能的结果。这样，军事指挥人员就可以进行成千上万次的战斗模拟，从中选择对自己一方
量有利又最稳妥的作战方案，赢得战争的胜利。这相当于用计算机进行大规模的军事演习
。现在世界上已有不少国家采用这种模拟方法，并在实际战斗中取得了成功。蒙特卡罗方
法在国民经济、科学研究中亦已被广泛应用。在航天飞行器设计，稀薄气体分子动力学计
算、高能物理、理论物理、凝聚态理论、材料科学、气象预报、可靠性工程及风险评价、
地质探矿乃至医学科学中都大量使用了此种方法。我们可以毫不夸张地预言，随着计算机
技术包括硬件、软件的新发展，蒙特卡罗方法应用的领域及深度还将有更大的发展。同时
，人们也不会再感到它深奥莫测，而是得心应手的科学研究手段。



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