[分享]何为蒙特卡罗方法计算机仿真

Evan

仿真中的蒙特卡罗方法计算机仿真就是利用计算机对一个实际系统的结构和行为进行动态模拟，由此了解系统变化的特性，为行动和决策提供依据。随机模拟方法，也称蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，是计算机仿真技术中一个极为重要的方法，这个方法的基本思想是，为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理等方面的问题，首先建立一个概率模型，使它的参数等于问题的解，然后通过对模型或过程在计算机上生成随机数来计算所求参数，最后给出所求解的近似值，而解的精度可由参数估值的标准差来表示。蒙特卡罗方法系统发展始于20世纪40年代。早在17世纪，随机试验是和抛硬币及掷骰子等机会游戏紧密联系的，当时数学家就曾预言过这些博奕游戏将有重要应用。远在伯努利以前，人们就把频率作为概率的近似值，如果概率计算发生错误，人们可以通过随机模拟得到的频率来发现问题，并进行校正。18世纪法国数学家Buffon自己动手做了几万次投针试验，计算了圆周率 的值，这些就是古代的蒙特卡罗方法。进入20世纪40年代，由于计算机的出现，才使得用随机模拟方法解决复杂实际问题有了可能。在第二次世界大战中，蒙特卡罗曾被用作一绝密计算方法的代号，该计算的目的是预测原子弹中的中子通量，因为数以百万计的中子，沿着大量铀分子中的随机通道辐射的情况，只能在计算机上模拟而无法进行理论上的预测。蒙特卡罗是小国摩纳哥的首府，也是世界著名的赌城，之所以把它作为上述计算的代号，一是由于通道的变化是随机的，二是生产原子弹具有高度的冒险性，本身就是一次大赌博。蒙特卡罗方法研究的问题大致可分为两种类型，一种是问题本身就是随机的，另一种本身属于确定性问题，但可以建立它的解与特定随机变量或随机过程的数字特征或分布函数之间的联系，因而也可用随机模拟方法解决。如计算多重积分，求解积分方程、微分方程、非线性方程组，求矩阵的逆等。下面我们来看一个用蒙特卡罗方法求解确定性问题的简单例子。计算如图a所示的平面上阴影区域S的面积S，为此，作一个包含S的矩形D，其面积仍用D表示，向矩形域内均匀地随机投点，则点的坐标（X，Y）可看作二维随机变量，其分布为D上的均匀分布，若共投了 个点，可统计出落在阴影部分的点数 是随机事件 的频率，而此事件的概率为由大数定律可知，当n很大时， ，由此可得阴影区域的面积的近似值当 很大时，误差非常小。在许多实际问题中，由于系统本身非常复杂，或规模巨大，或历时长久，有时研究起来相当困难。如有些系统包含大量的变量、参数，各种外部的、内部的因素错综复杂，相互影响，有时系统还受许多不确定的随机因素的影响，要用数学表达式精确描述，进而求解，会遇到很大困难。实际中，有一大类称之为随机服务的系统，如汽车与乘客，售货员与顾客，修理工与机器，机器与待加工零件，输入、存储、处理、输出与计算机等都各自构成一个随机服务系统，在这些服务系统中，称提供服务的对象为服务员，接受服务的对象为顾客。随机因素在这类系统中起着根本的影响，不论是顾客的到达时刻还是顾客占用的服务时间都是随机变量，对随机服务系统需要研究服务员的工作强度、平均空闲时间、系统中等待服务的顾客排队长度、顾客的平均等待时间等问题，由此来设计和控制实际系统，使得在充分满足顾客服务的条件下，保证整个服务系统处于最经济的运行状态。蒙特卡罗方法是研究这类系统最为有力的工具。蒙特卡罗方法扩大了抽样技术的应用范围。由于整个试验是在计算机上进行的，排除了人为因素的影响，保证了试验每次在完全独立的条件下进行，由试验结构更能较准确地对实际问题作出判断。随着计算机技术的进步及其应用范围的日益广泛，不同领域的人们在有意识地、系统地应用随机抽样试验来解决问题，蒙特卡罗方法目前已成为计算数学的一个新的重要分支。我国从1955年以来开展了随机仿真的研究工作，并且在核科学、真空技术、地质科学、医学统计、随机服务系统和可靠性等方面都解决了大量的实际问题。


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